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日志

 
 

【转载】选修4-5中的著名不等式  

2014-08-26 17:07:04|  分类: 不等 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自数学教育《选修4-5中的著名不等式》
选修4-5中的著名不等式

新课程改革推出了知识模块,把高等数学中一些领域的知识进行了简化,下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例,下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。

 

绝对值的三角不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育):

 

定理:若选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为实数,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

绝对值的三角不等式一般形式:

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,简记为选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

柯西不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

定理:(向量形式)设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为平面上的两个向量,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为非零向量时,等号成立选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育共线选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育存在实数选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,使选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为零向量时,规定零向量与任何向量平行,即当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,上式依然成立。

 

定理:(代数形式)设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育均为实数,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育  当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

柯西不等式的一般形式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为实数,则

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立(当某选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,认为选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育)。

 

闵可夫斯基不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育均为实数,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育  当且仅当存在非负实数选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育(不同时为0),使选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

闵可夫斯基不等式的一般形式:

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育是两组正数,选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,则

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

排序不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为两组实数选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育的任一排列,则有选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

排序原理可简记作:反序和选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育乱序和选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育顺序和。

 

切比晓夫不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育):

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为任意两组实数,

 

①如果选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,则有

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

②如果选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,则有

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

①②两式,当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

平均值不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育个正数,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,等号成立。

 

加权平均不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育                    

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为正数,选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育都是正有理数,并且选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,那么选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

杨格不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育):

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为有理数,满足条件选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育互称为共轭指标),选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为正数,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

贝努利不等式(选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育):

 

定理:设选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,且选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育为大于1的自然数,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

贝努利不等式的一般形式:

 

(1)选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,且同号,则选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育

 

(2)选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,则①当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,有选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育;②当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时,有选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育,①②当且仅当选修4-5中的著名不等式 - 数学教育 - 数学教育时等号,成立。

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