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sqing55

雨打滕王阁,叶落百花洲。我看故我在 ,永远知多久!

 
 
 

日志

 
 

阿尔巴尼亚不等式集锦  

2015-01-27 12:10:43|  分类: 奥赛 |  标签: |举报 |字号 订阅

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1. Given the equation x^4-x^3-1=0
(a) Find the number of its real roots.
(b) We denote by S the sum of the real roots and by P their product. Prove that P< - \frac{11}{10} and S> \frac {6}{11}.
                                                                                         Albania BMO TST 2009
2. Let's consider the inequality a^3+b^3+c^3<k(a+b+c)(ab+bc+ca) where a,b,c are the sides of a triangle and k a real number. 
a) Prove the inequality for k=1
b) Find the smallest value of k such that the inequality holds for all triangles.
                                                                                        Albania BMO TST 2010  
3. Let a\geq 2 be a real number; with the roots x_{1} and x_{2} of the equation x^2-ax+1=0 we build the sequence with S_{n}=x_{1}^n + x_{2}^n
a)Prove that the sequence \frac{S_{n}}{S_{n+1}}, where n takes value from 1 up to infinity, is strictly non increasing. 
b)Find all value of a for the which this inequality hold for all natural values of n \frac{S_{1}}{S_{2}}+\cdots +\frac{S_{n}}{S_{n+1}}>n-1
                                                                                Albania BMO TST 2010            
4.  Find the greatest value of the expression\frac{1}{x^2-4x+9}+\frac{1}{y^2-4y+9}+\frac{1}{z^2-4z+9}where xyz are nonnegative real numbers such that x+y+z=1.
                                                                                         Albania Team Selection Test 2012
5.  Let a,b,c,d be positive real numbers such that abcd=1.Find with proof that x=3 is the minimal value for which the following inequality holds :a^x+b^x+c^x+d^x\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}
                                                                                          Albania IMO TST 2013
6.  Let n be a natural number such that n \geq 2. Show that
\frac {1}{n + 1} \left( 1 + \frac {1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac {1}{2n - 1} \right) > \frac {1}{n} \left( \frac {1}{2...
                                                                                           Albania BMO TST 2014

7. In a convex quadrilateral ABCD ,\angle ABC and \angle BCD are \geq 120^o. Prove that |AC| + |BD| \geq |AB|+|BC|+|CD|. (With |XY| we understand the length of the segment XY).
                                                                               Albanian Mathematical Olympiad 12 GRADE 2011--Question 3      
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